テボーの定理

テボーの定理（テボーのていり、英:Thébault's theorem、仏:Théorème de Thébault）は、フランスの数学者、ヴィクトル・テボー（英語版、フランス語版）が提唱したいくつかの幾何学の問題の総称である。それぞれは、テボーの問題I, II, IIIとして知られている。

テボーの問題 I[編集]

ある平行四辺形の4辺の外側に正方形を作る。このとき、4つの正方形の中心は正方形を作る。

これはヴァン・オーベルの定理の特別な場合である^[1]。

テボーの問題 II[編集]

ある正方形の隣り合う二辺に正三角形を作る。ただし、双方ともに、外側または内側にあるとする。このとき、2つの正三角形の頂点でない正方形の頂点と、正方形の頂点でない二つの正三角形の頂点が成す三角形は正三角形である^[2]。

テボーの問題 III[編集]

ある三角形 $ABC$ と、 $BC$ 上の点 $M$ について、 $BC,AM$ と三角形 $ABC$ の外接円に接する（内接する）円を $AM$ の両側にそれぞれ作る。 2つの円の中心 $P,Q$ と三角形 $ABC$ の内心 $I$ は共線である^[3]^[4]。澤山-テボーの定理（Sawayama-Thébault theorem,Sawayama and Thébault's theorem）とも呼ばれている^[5]。

2003年まで、学会はテボーの問題 IIIの証明はこれらの問題の中で最も難しいと考えていた。テボーの問題 IIIは1938年、American Mathematical Monthly（英語版）で紹介され、1973年に、オランダの数学者H. Streefkerkによって証明された^[6]。しかし東京の陸軍中央幼年学校の教官であった陸軍教授^[7]澤山勇三郞が1905年に独自に証明を与えていたことが、2003年、Jean-Louis Aymeによって発見された^[8]^[9]^[10]。

テボーの問題 IIIの円を傍接に置き換えたもの、つまり内心を傍心に、2つの円を外接円に外接するように置き換えたものは、2002年、Shay Gueronによって発見され、ケイシーの定理を用いて証明された ^[11]。澤山-テボーの定理は以下のようにも言い換えることができる^[11]^[12]。

澤山-テボーの定理 ― ∠ $AMB$ = $θ$ 、 $AM,BC$ と△ $ABC$ の外接円に内接する $B,C$ 側の円の中心をそれぞれ $P,Q$ 、内心を $I$ とすると以下の式が成り立つ。

{\frac {PI}{IQ}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}.

澤山とH. Streefkerkの結果を用いた証明[編集]

補題（澤山の補題）[編集]

・円 $Q$ と $BC,AM$ の接点を $E,F$ とする。 $E,F,I$ は共線である^[8]^[13]^[14]。

　円 $Q$ と△ $ABC$ の外接円 $O$ との接点を $K$ とする。 $K$ を中心とする円の相似から $KE$ と $O$ の交点 $N$ は弧 $BC$ の中点、つまり $AI$ と $O$ の交点である。したがって、 $KE$ は∠ $BKC$ の二等分線である。また $KF$ と $O$ の交点を $L$ 、 $AN$ と $EF$ の交点を $J$ として、 $EF//NL$ なのでReimの定理^{[註 1]}の逆から、 $A,J,F,K$ は共円である。△ $AFJ$ と $F,E,J$ に、ミケル点を $K$ としてミケルの定理（英語版）を用いることで、 $AJ$ と円 $JEK$ は $J$ で接することが分かる。円 $Q,JEK$ は $EK$ で共軸で、 $AJ$ と円 $JEK$ が接することから、 $N$ を中心とし $J$ を通る円と円 $JEK,Q$ は直交する。ところで、∠ $NKB$ =∠ $NCB$ =∠ $NBC$ と接弦定理の逆から円 $BKE$ は $BN$ と接するので、共軸な3円 $Q,JEK,BEK$ は、すべて $N$ を中心とし $J$ を通る円と直交する。したがって $NB=NJ=NC$ である。トリリウムの定理より $NB=NI=NC$ なので $I=J$ 。以上より $E,F,I$ の共線が示された。

特に $M=B$ とすると、円 $Q$ は $B$ の混線内接円となり、この補題はニクソンの定理（theorem of Nixon）と呼ばれる^[15]。Dao Thanh Oaiは等角共役点を用いた一般化を発表している^[5]。

本題[編集]

・ $P,Q,I$ は共線である。

円 $P$ と $BC,AM$ の接点を $G,H$ とする。 $P,Q$ はそれぞれ∠ $AMB$ の内側、外側の二等分線上にあり、また $GH,EF$ はそれぞれの垂線であるので、 $GH//MQ,EF//MP$ である。さらに $PG//QE$ なのでパップスの六角形定理（英語版）の逆より、 $P,Q,I$ の共線が示された。

出典[編集]

^ “Thébault's Problem I”. www.cut-the-knot.org. 2024年5月18日閲覧。
^ “Thébault's Problem II”. www.cut-the-knot.org. 2024年5月18日閲覧。
^ Alexander Ostermann, Gerhard Wanner (2012). Geometry by Its History. Heidelberg ; New York : Springer. pp. 226-230
^ “Thébault's Problem III”. www.cut-the-knot.org. 2024年5月18日閲覧。
^ ^a ^b Dao Thanh Oai,Cao Mai Doai, Quang Trung, Kien Xuong, Thai Binh, Vietnam (2016). “A Generalization of the Sawayama and Th´ebault’s Theorem”. International Journal of Computer Discovered Mathematics (IJCDM) Volume 1: 33-35.
^ Zvonko Cerin (2011). “On Thebault’s Problem 3887”. Journal for Geometry and Graphics Volume 15: 113-127.
^ 『官報』第5444号、明治34年8月24日。
^ ^a ^b Ayme, Jean-Louis (2003), “Sawayama and Thébault's theorem”, Forum Geometricorum 3: 225–229, MR 2055379
^ Sawayama, Y. (1905-12-01). A New Geometrical Proposition. JSTOR. The American Mathematical Monthly
^ “国立国会図書館デジタルコレクション”. dl.ndl.go.jp. 2024年5月20日閲覧。
^ ^a ^b Gueron, Shay (April 2002). “Two Applications of the Generalized Ptolemy Theorem”. The American Mathematical Monthly 109 (4): 362–370. doi:10.2307/2695499. JSTOR 2695499.
^ Wilfred Reyes. “AnApplication of Th´ ebault’s Theorem”. Forum Geometricorum. 2024年5月23日閲覧。
^ “Y. Sawayama's Lemma”. www.cut-the-knot.org. 2024年5月20日閲覧。
^ Paris Pamfilos. “Pairings of Circles and Sawayama’s Theorem”. Forum Geometricorum. 2024年5月20日閲覧。
^ Nguyen Chuong Chi (2018). “A Proof of Dao’s Generalization of the Sawayama Lemma”. International Journal of Computer Discovered Mathematics (IJCDM) Volume 3: 1-4.

^ Reim's theorem:2点A,Bを通る2つの円の片方に点E,Fがあるとする。AE,BFともう一方の円の交点をそれぞれG,HとするとEF,GHは平行である。これをReim's theoremという[1]。内接四角形の角とその対角の外角が等しいことから導かれる。

外部リンク[編集]

Thébault's problems and variations at cut-the.knot.org

[1] “Thébault's Problem I”. www.cut-the-knot.org. 2024年5月18日閲覧。

[2] “Thébault's Problem II”. www.cut-the-knot.org. 2024年5月18日閲覧。

[3] Alexander Ostermann, Gerhard Wanner (2012). Geometry by Its History. Heidelberg ; New York : Springer. pp. 226-230

[4] “Thébault's Problem III”. www.cut-the-knot.org. 2024年5月18日閲覧。

[:2-5] Dao Thanh Oai,Cao Mai Doai, Quang Trung, Kien Xuong, Thai Binh, Vietnam (2016). “A Generalization of the Sawayama and Th´ebault’s Theorem”. International Journal of Computer Discovered Mathematics (IJCDM) Volume 1: 33-35.

[6] Zvonko Cerin (2011). “On Thebault’s Problem 3887”. Journal for Geometry and Graphics Volume 15: 113-127.

[7] 『官報』第5444号、明治34年8月24日。

[:0-8] Ayme, Jean-Louis (2003), “Sawayama and Thébault's theorem”, Forum Geometricorum 3: 225–229, MR 2055379

[9] Sawayama, Y. (1905-12-01). A New Geometrical Proposition. JSTOR. The American Mathematical Monthly

[10] “国立国会図書館デジタルコレクション”. dl.ndl.go.jp. 2024年5月20日閲覧。

[:1-11] Gueron, Shay (April 2002). “Two Applications of the Generalized Ptolemy Theorem”. The American Mathematical Monthly 109 (4): 362–370. doi:10.2307/2695499. JSTOR 2695499.

[12] Wilfred Reyes. “AnApplication of Th´ ebault’s Theorem”. Forum Geometricorum. 2024年5月23日閲覧。

[13] “Y. Sawayama's Lemma”. www.cut-the-knot.org. 2024年5月20日閲覧。

[14] Paris Pamfilos. “Pairings of Circles and Sawayama’s Theorem”. Forum Geometricorum. 2024年5月20日閲覧。

[16] Nguyen Chuong Chi (2018). “A Proof of Dao’s Generalization of the Sawayama Lemma”. International Journal of Computer Discovered Mathematics (IJCDM) Volume 3: 1-4.

[15] Reim's theorem:2点A,Bを通る2つの円の片方に点E,Fがあるとする。AE,BFともう一方の円の交点をそれぞれG,HとするとEF,GHは平行である。これをReim's theoremという[1]。内接四角形の角とその対角の外角が等しいことから導かれる。

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